Что такое Поля Теория

Поля Теория в Энциклопедическом словаре:

Поля Теория — математическая теория, изучающая свойства скалярных ивекторных полей. Основной аппарат поля теории — векторное исчисление.

Определение «Поля Теория» по БСЭ:

Поля теория — математическая теория, изучающая свойства скалярных, векторных (в общем случае — тензорных) полей, т. е. областей пространства (или плоскости), каждой точке М которых поставлено в соответствие число u (М) (например, температура, давление, плотность, магнитная проницаемость) или вектор а (М) (например, скорость частицы текущей жидкости, напряжённость силового поля, в частности электрического или магнитного поля) или тензор (например, напряжение в точке упругого тела, проводимость в анизотропном теле). Основным аппаратом П. т. является векторный и тензорный анализ (см. Векторное исчисление, Тензорное исчисление).
Многие понятия дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных переносятся в П. т. Среди них важное значение для описания скалярных полей имеет производная по направлению максимального изменения скалярного поля — т. н. Градиент — вектор, инвариантный относительно выбора системы координат. Изменения векторного поля в 1-м приближении характеризуются двумя величинами: скаляром, называется дивергенцией (или расхождением) поля, который характеризует изменение интенсивности (плотности) поля, и вектором, называется вихрем (или ротором) поля, который представляет собой векторную характеристику
«вращательной составляющей» векторного поля (его «скручивание»). Операцию перехода от скалярного поля к его градиенту и операцию перехода от векторного поля к его дивергенции часто обозначают Гамильтона оператором. Градиент скалярного поля, дивергенция и вихрь векторного поля обычно называют основными дифференциальными операциями П. т. К ним иногда относят операцию последовательного выполнения градиента и дивергенции, которая обозначается Лапласа оператором. При применении основных дифференциальных операций к полям с определёнными видами симметрий (сферических, цилиндрических и др.) используют специальные виды криволинейных координат (полярные, цилиндрические и др.), что упрощает вычисления.
В П. т. используется ряд интегральных соотношений и понятий, связывающих дифференцирование и интегрирование при изучении частей (или в целом) полей. Так, Потоком векторного поля через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. Поток векторного поля связывается с дивергенцией при помощи Остроградского формулы: поток векторного поля через поверхность равен интегралу от дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью. Др. важной характеристикой векторных полей является Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру — интеграл по контуру от скалярного произведения векторного поля на единичный вектор касательной к контуру. Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна интегралу от вихря поля по любой поверхности, ограниченной данным контуром (Стокса формула). По вихрю и дивергенции различают потенциальные поля (rota = 0), соленоидальные (diva = 0) и лапласовы
(&Delta.&phi. = 0).
Лит. см. при статьях Векторное исчисление, Тензорное исчисление.
А. Б. Иванов.



Рубрики П